90℃等边三角形

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（1）由题意知：当F与C点重合时D正好在AB上，此时三角形ACD中，∠ACD=90°-60°=30°，而∠A=60°，因此∠ADC=90°，可在直角三角形BCD中，根据∠B的正弦值及BC的长求出等边三角形的边长；（2）可设△DEF从初始位置移动x秒后得到△D 1 E 1 F 1 ，那么在x秒内M点移动的距离就是BM的长，由于∠D 1 MN=∠BME 1 =∠ABC=30°，因此△BE 1 M是个等腰三角形，过E 1 作E 1 G⊥BM，那么BG=GM= BM，可在直角三角形BE 1 G中，根据BE 1 的长求出E 1 G（BE 1 的长就是△BDF平移的距离），由此可得出BM的长除以用的时间即可得出M点的速度．求N点的速度解法类似，过F作FH⊥D 1 F 1 ，设垂足为H，那么FH就是N点移动的距离，同样可在直角三角形FHF 1 中求出FH的长，进而可得出其速度；（3）本题要先找出几个关键点：当P与M重合时，那么根据P的速度可表示出DM的长，而ME=BE为三角形平移的距离，据此可求出t=1．当P到达E点时，DP=DE，可求得此时t= ． ①当P在DM之间时，即0≤x≤1，MN的长可在直角三角形DMN中，根据DM和∠DMN的余弦值求出，过P作PP 1 ⊥MN于P 1 ，那么PP 1 就是MN边上的高，可在直角三角形MPP 1 中根据MP的长和∠PMP 1 的正弦值求出（MP可根据DE-DP-ME来得出）．据此可得出关于S，x函数关系式． ②当P在EM之间时，即1＜x≤ ，可过P作PP 2 ⊥AB与P 2 ，那么PP 2 的长可在直角三角形PP 2 M中，根据PM的长和∠BME的正弦值求出，进而可根据三角形的面积公式求出S、x的函数关系式． ③当P在EF上运动时，即 ≤x≤3，解法同上．根据上述三种情况得出的函数的性质及各自的自变量的取值范围，可求得S的最大值及对应的x的值．解析（1）当F点与C点重合时，如图1所示： ∵△DEF为等边三角形， ∴∠DFE=60° ∵∠B=30°， ∴∠BDF=90° ∴FD= BC=3；（2）过E点作EG⊥AB， ∵∠DEF=60°，∠B=30°， ∴∠BME=30°， ∴EB=EM 在Rt△EBG中，BG=x×cos30°= x， ∴BM=2BG= x， ∴M点在BA上的移动速度为 = ， F点作FH⊥F 1 D 1 ，在Rt△FF 1 H中，FH=x×cos30°= x，点N在BA上的移动速度为 = ；（3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°= = （3-x），当P点运动到M点时，有2x+x=3， ∴x=1 ①当P点在DM之间运动时，过P点作PP 1 ⊥AB，垂足为P 1 在Rt△PMP 1 中，PM=3-x-2x=3-3x， ∴PP 1 = （3-3x）= （1-x）， ∴y与x的函数关系式为：y= × （3-x）× （1-x）= （x 2 -4x+3）（0≤x≤1）， ②当P点在ME之间运动时，过P点作PP 2 ⊥AB，垂足为P 2 ，在Rt△PMP 2 中，PM=x-（3-2x）=3（x-1）， ∴PP 2 = （1-x）， ∴y与x的函数关系式为：y= × （3-x）× （1-x）， =- （x 2 -4x+3）（1＜x≤ ）． ③当P点在EF之间运动时，过P点作PP 3 ⊥AB，垂足为P 3 ，在Rt△PMP 3 中，PB=x+（2x-3）=3（x-1）， ∴PP 3 = （x-1）， ∴y与x的函数关系式为：y= × （3-x）× （x-1）， =- （x 2 -4x+3）（ ≤x≤3）， ∴y=- （x-2） 2 + ， ∴当x=2时，y 最大 = ，而当P点在D点时，y= ×3× × = ， ∵ ＞， ∴当P点在D点时，△PMN的面积最大．

直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。在直角三角形中，有一些重要的边长公式可以帮助我们计算未知边长或角度。以下是直角三角形的边长公式的介绍。

勾股定理：勾股定理是直角三角形中最著名的边长公式。它表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。表示为：a? + b? = c?，其中a和b分别表示两条直角边的长度，c表示斜边（也称为斜边或弦）的长度。

正弦定理：正弦定理适用于所有三角形，包括直角三角形。在直角三角形中，它可以简化为特殊形式。正弦定理表明，三角形的任意一条边的长度与该边所对应的角的正弦值成正比。表示为：sin(A) = a / c，其中A表示直角三角形中的锐角，a表示直角三角形的对边，c表示斜边。

余弦定理：余弦定理也适用于所有三角形，包括直角三角形。在直角三角形中，它可以简化为特殊形式。余弦定理表明，三角形的一条边的平方等于另外两条边长度平方的和减去这两条边长度的乘积与2的乘积。表示为：c? = a? + b? - 2abcos(C)，其中C表示直角三角形的锐角，a和b分别表示直角三角形的两条直角边的长度，c表示斜边的长度。

正切定理：正切定理是直角三角形中的另一个重要定理。它表明，一个锐角的正切值等于该锐角所对应的直角三角形的对边长度与邻边长度的比值。表示为：tan(A) = a / b，其中A表示直角三角形中的锐角，a表示直角三角形的对边，b表示直角三角形的邻边。

以上是直角三角形的四个重要边长公式。这些公式可以互相结合使用来解决直角三角形相关的问题，例如计算未知边长、角度或者判断两条边是否垂直等。在实际问题中，这些公式提供了非常有用的工具，帮助我们理解和解决与直角三角形相关的数学和物理问题。

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