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1、公式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。
性质：|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。
两个重要性质：1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|。
2、|a|<|b|可逆a2。
另外|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。
|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成立，ab≤0时右边等号成立。
3、几何意义
1）当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。
2）当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。
(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)
4、绝对值重要不等式。
我们知道|a|={a，(a>0)，a，(a=0)，﹣a，(a<0)，}
因此，有﹣|a|≤a≤|a|
﹣|b|≤b≤|b|，同样地①，②相加得﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，即|a+b|≤|a|+|b|。
显而易见，a，b同号或有一个为0时，③式等号成立。由③可得|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|，即|a|-|b|≤|a+b|。
综合③，④我们得到有关绝对值(absolutevalue)的重要不等式a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。
简单的绝对值不等式的解法：
不等式中高考的一个重点，解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号转化为普通不等式，常用方法有等价转化法、零点讨论法，个别时候可用平方去掉绝对值符号。
(一)零点分段法，转化成多个不等式(组)
零点分段法是最基本的方法，也是必须掌握的，相比其它方法更容易理解，分类讨论，过程清晰不容易出错，在考试也推荐这种方法！例如
解不等式 |2x-1|-|x-3|>5
第一步，求出所有式子的零点
由2x-1=0与x-3=0得到零点：x=0.5与x=3。
第二步，将求得的所有零点在数轴上标出来，将数轴分段
找到零点后分成x<0.5 ，0.5≤x≤3 ，x>3这三个区间
第三步，在每个区间内去掉绝对值符号
转化成下面的三个不等式组
①x<0.5时，1-2x-(3-x)>5，解得x<-7
②0.5≤x≤3时，2x-1-(3-x)>5，无解
③x>3时，2x-1-(x-3)>5，解得x>3
综上答案是x>3或x<-7。
下面介绍一些其它方法，可以根据题目类型灵活应用。
(二)根据绝对值的概念和性质
解不等式 |2x-1|>2x-1
根据绝对值的概念和性质，可知
|a|≥a，当a≥0时|a|=a，当a<0时|a|>a，而且反过来也是成立的。
所以2x-1<0，x<1/2。
解不等式 |x-1|>2x+7
根据绝对值的概念和性质，可知
|x|≤a转成-a≤x≤a
|x|≥a转成x≥a或x≤-a(注意是或)
通常情况下a>0，但是其实a为实数时上面的两个性质仍然是成立的，所以并不需要讨论a的正负，用这两条性质可以直接快速去掉绝对值符号，避免复杂的讨论。
x-1>2x+7，x<-8
或x-1<-2x-7，x<-2
综合两种情况，解集是x<-2。
解不等式 |x+1|<2x-4
根据绝对值的非负性，可知|a|≥0
所以2x-4>0，即x>2，这个条件下x+1>0，可以直接脱去绝对值符号，x+1<2x-4，解得x>5。大大取大，解集是x>5。
(三)绝对值几何意义，绝对值最值
参照(到直线上所有点距离和最小的点，绝对值和的最小值)
|x-1|+|x-2|<5
根据绝对值的几何意义，可知|x-1|表示x到1的距离，|x-2|表示x到2的距离。根据数轴易知-1<x<4。
(四)两边平方
|x+1|<|x-2|
如果两边都是非负的，可以两边直接平方脱去绝对值，但是x次数可能会变成2次。现阶段了解即可。
两边平方得到|x+1|?<|x-2|?
x?+2x+1<x?-4x+4
解得x<1/2。
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